####################################################################### # Ancillary file for arXiv:2308.08199 [hep-th], # "An Eight Loop Amplitude via Antipodal Duality", # by Lance Dixon and Yu-Ting (Andy) Liu. ################################################################### # Values for the 10 Z_i functions at the origin. # ################################################## # There are 10 weight 16 Z functions. # We organize them into 3 orbits under cyclic permutations, # u_i -> u_{i+1} (mod 3). # L1, L2, L3, # M1, M2, M3, # N1, N2, N3, # and "z4Z" is zeta[4] times the dihedrally invariant weight 12 Z function. # # We assemble all the ambiguities together, flagged with "c" coefficients as # # cL1 * L1 + cL2 * L2 + cL3 * L3 # + cM1 * M1 + cM2 * M2 + cM3 * M3 # + cN1 * N1 + cN2 * N2 + cN3 * N3 # + cz * z4Z # # # We remark that the cyclicly symmetric sum N1+N2+N3 # vanishes at symbol level at the origin. However, it does NOT vanish # beyond the symbol level, which lets us use the origin to fix # its coefficient in the full amplitude ansatz. # # For example, N1+N2+N3 contains the ln^13 term: # Nsum_z3_term := 1/6480 * z3 * ln(w)^3 * ln(u)^3 * ln(v)^3 * ( ln(u)*ln(v)^3+ln(v)*ln(u)^3 +ln(v)*ln(w)^3+ln(w)*ln(v)^3 +ln(w)*ln(u)^3+ln(u)*ln(w)^3 -3*ln(v)*ln(w)*ln(u)^2-3*ln(w)*ln(u)*ln(v)^2-3*ln(u)*ln(v)*ln(w)^2 ) : # # And it further contains the weight 11 term: # Nsum_z2z3_term := z2 * z3 * 1/1080 * ln(u) * ln(v) * ln(w) * ( ln(w)^3*ln(u)^5+4*ln(u)^5*ln(v)*ln(w)^2+4*ln(u)^5*ln(v)^2*ln(w) +ln(u)^5*ln(v)^3-3*ln(w)^3*ln(v)*ln(u)^4-3*ln(w)*ln(v)^3*ln(u)^4 +ln(w)^5*ln(u)^3-3*ln(w)^4*ln(v)*ln(u)^3-20*ln(w)^3*ln(u)^3*ln(v)^2 -20*ln(w)^2*ln(u)^3*ln(v)^3-3*ln(w)*ln(u)^3*ln(v)^4+ln(u)^3*ln(v)^5 +4*ln(u)^2*ln(v)*ln(w)^5-20*ln(w)^3*ln(u)^2*ln(v)^3+4*ln(v)^5*ln(u)^2*ln(w) +4*ln(u)*ln(v)^2*ln(w)^5-3*ln(w)^4*ln(u)*ln(v)^3-3*ln(w)^3*ln(u)*ln(v)^4 +4*ln(v)^5*ln(u)*ln(w)^2+ln(w)^5*ln(v)^3+ln(w)^3*ln(v)^5 ) : # # neither of which can be cancelled by the z4 containing "z4Z". # (There is also a z4 term with shape ln(u)^3*ln(v)^4*ln(w)^5, # which can't be cancelled either.) # # Hence the coefficient of this symbol-level ambiguity can # be fixed at the origin, using beyond-the-symbol level information. # And it doesn't require quadratic logarithms either, so it doesn't need # (anything close to) knowledge of the 8 loop Gamma_oct or Gamma_hex. # # Here is the full answer for all 10 ambiguities, flagged by the # "c" constants mentioned above. # Z_000_final := ((-7/24*cN1+11/6*cL2+7/12*cL3-1/12*cM2+29/48*cM3-5/8*cN3+11/48* cM1+3/2*cL1)*z3*z7+(16555/3072*cL1+12089/1920*cN1+17281/15360*cL2-1397/640*cL3-\ 10813/1920*cM1-1331/960*cM2-13211/7680*cM3+2101/1920*cN2+77/32*cN3+616/15*cz)* z10+(-43/48*cL1-29/48*cN1-4/3*cL2+245/48*cL3+95/96*cM1+131/96*cM2+7/24*cM3-11/ 12*cN2+7/48*cN3-64/3*cz)*z4*z3^2+(73/24*cL1+1/3*cN1+8/3*cL2-53/24*cL3-5/12*cM1-\ 5/12*cM2+7/6*cM3+1/3*cN2-7/6*cN3)*z2*z3*z5+(-3/8*cL1-1/12*cN1-1/3*cL2+13/24*cL3 +1/8*cM1+1/24*cM2-1/4*cM3+1/4*cN3)*z5^2)*ln(v)^2*ln(u)^4+((-280/3*cz+10679/1152 *cM2+17995/2304*cM3+19321/576*cL2-1667/288*cN3-1505/192*cN2+17995/2304*cM1+ 150175/4608*cL1-1667/288*cN1+150175/4608*cL3)*z8+(7/24*cL1-1/24*cN3+1/24*cM3-1/ 3*cL2+1/6*cM2+1/24*cM1+7/24*cL3-1/6*cN2-1/24*cN1)*z2*z3^2)*ln(w)^2*ln(v)^2*ln(u )^4+((1193/4608*cM1+847/768*cL1+231/256*cL3+1193/4608*cM2+133/576*cM3+847/768* cL2-21/128*cN3-77/384*cN2-77/384*cN1-28/9*cz)*z6+(1/288*cM1+7/288*cL1-1/36*cL3+ 1/288*cM2+1/72*cM3+7/288*cL2-1/72*cN3-1/288*cN2-1/288*cN1)*z3^2)*ln(w)^4*ln(v)^ 2*ln(u)^4+((-1/8*cN1-31/144*cL3-11/72*cM2+19/144*cM3+13/24*cL2-1/8*cN3+5/36*cN2 +19/144*cM1-31/144*cL1)*z2*z5+(73/576*cL2-5/24*cN3+19/72*cM1-7/144*cL1-19/72* cN1+89/192*cL3+5/72*cM2+5/24*cM3-5/72*cN2)*z3*z4)*ln(w)^3*ln(v)^2*ln(u)^4+((-43 /12*cL2-25/24*cN3-25/24*cN2-67/24*cM1+20/3*cL1+31/12*cN1-43/12*cL3+55/48*cM2+55 /48*cM3)*z2*z7+(-391/48*cL1+295/96*cL3-133/96*cM2+55/48*cN2-65/48*cN3+181/48* cM1-85/24*cN1+847/96*cL2+131/96*cM3)*z4*z5+(-1/48*cL1-29/12*cL3-49/24*cM2+15/16 *cM3+97/24*cL2-65/24*cN1+65/24*cM1+49/24*cN2-15/16*cN3)*z6*z3)*ln(w)*ln(v)^2*ln (u)^4+((-2/3*cN3+2/3*cM3-53/24*cL3+2/3*cN2-2/3*cM2+53/24*cL2)*z2*z3^3+(439/48* cM1-6227/192*cL1-67/8*cN1+5503/192*cL3-295/192*cM2-469/192*cM3+143/16*cL2+69/32 *cN3+101/96*cN2)*z5*z6+(-449/32*cM1+297/8*cL1+207/16*cN1-31*cL3+55/32*cM2+197/ 16*cM3-49/8*cL2-91/8*cN3-25/16*cN2)*z4*z7+(475/48*cM1-11695/768*cL1-475/48*cN1-\ 361/1152*cL3-349/72*cM2-367/36*cM3+23951/2304*cL2+709/72*cN3+187/36*cN2)*z3*z8+ (-19/24*cM1+37/6*cL1+3/4*cN1-9/4*cL3+29/24*cM2+23/12*cM3-19/12*cL2-11/6*cN3-5/4 *cN2)*z3^2*z5)*ln(v)*ln(u)^4+((-25/24*cN1-43/12*cL1+55/48*cM2-25/24*cN2+55/48* cM1-43/12*cL2+31/12*cN3+20/3*cL3-67/24*cM3)*z2*z7+(131/96*cM1+295/96*cL1-65/48* cN1-391/48*cL3-133/96*cM2+181/48*cM3+847/96*cL2-85/24*cN3+55/48*cN2)*z4*z5+(-65 /24*cN3-15/16*cN1+49/24*cN2+15/16*cM1-29/12*cL1-1/48*cL3-49/24*cM2+65/24*cM3+97 /24*cL2)*z6*z3)*ln(w)^2*ln(v)*ln(u)^4+((-25/288*cN2-43/144*cL1-43/144*cL2+55/ 576*cM1+55/576*cM2-25/288*cN1+5/9*cL3+31/144*cN3-67/288*cM3)*z7+(49/288*cL2-1/ 96*cM1+49/288*cL1+1/144*cN2-1/96*cM2+5/48*cM3-7/72*cN3+1/144*cN1-37/144*cL3)*z2 *z5+(-5/128*cL2+1/144*cM1-5/128*cL1-1/144*cN2+1/144*cM2+7/72*cM3-7/72*cN3-1/144 *cN1+109/576*cL3)*z3*z4)*ln(w)^4*ln(v)*ln(u)^4+((25243/1728*cL2+40759/3456*cL3+ 16885/1152*cL1+2789/864*cM2+2609/864*cM3-17/9*cN1-233/108*cN3-896/27*cz+8/3*cM1 -143/54*cN2)*z8+(1/9*cM3+1/18*cN2-1/9*cN3+11/18*cL2-1/9*cN1+1/9*cM1-2/9*cL1-2/9 *cL3-1/18*cM2)*z3*z5+(1/12*cM2-1/12*cM1+5/12*cL1-5/12*cL2+1/12*cN1-1/12*cN2)*z2 *z3^2)*ln(w)^3*ln(v)*ln(u)^4+((5/1728*cL2-1/4320*cL3-1/1080*cN1+1/1080*cM1-1/ 576*cL1)*z5+(-5/1728*cL2-1/1080*cM1+1/576*cL1+1/1080*cN1+1/4320*cL3)*z2*z3)*ln( w)^6*ln(v)*ln(u)^4+((43759/1280*cM1+1161377/7680*cL1-2269/96*cN1+5083/128*cM2+ 1161377/7680*cL3-5896/15*cz+43759/1280*cM3+77687/480*cL2-2269/96*cN3-32263/960* cN2)*z10+(-5/6*cM1+14/3*cL1+5/6*cN1+23/12*cM2+14/3*cL3-5/6*cM3-109/12*cL2+5/6* cN3-23/12*cN2)*z4*z3^2+(2/3*cN2-8/3*cL1+22/3*cL2-8/3*cL3-4/3*cN1+4/3*cM1-2/3* cM2-4/3*cN3+4/3*cM3)*z2*z3*z5+(-2/3*cM1+4/3*cL1+2/3*cN1+1/3*cM2+4/3*cL3-2/3*cM3 -11/3*cL2+2/3*cN3-1/3*cN2)*z5^2)*ln(w)*ln(v)*ln(u)^4+(-1/193536*cM2-1/193536* cM3)*z4*ln(w)^8*ln(u)^4+((1/17280*cM1+1/17280*cM2)*z6+(-1/7560*cM2-1/7560*cM1)* z3^2)*ln(u)^3*ln(v)^7+((-1/270*cN3+1/270*cM3+5/432*cL2-1/1080*cL1-1/144*cL3)*z2 *z5+(-1/192*cL3+79/2880*cL1-1/360*cN3+1/360*cM3-7/360*cL2)*z3*z4)*ln(u)^3*ln(v) ^6+((-137/2160*cM3+137/2160*cN3-539/4320*cL1+1339/5760*cL3+967/17280*cL2+61/ 2160*cM1+61/2160*cM2)*z8+(-1/15*cM3+1/15*cN3-11/60*cL1-1/40*cL3-19/120*cL2+1/ 180*cM1+1/180*cM2)*z3*z5+(-1/40*cL2-1/360*cM1-1/40*cL3-1/360*cM2)*z2*z3^2)*ln(u )^3*ln(v)^5+((5/72*cL2-1/45*cN3-1/180*cL1-1/24*cL3+1/45*cM3)*z2*z5+(1/8*cL3+1/ 60*cL1+1/15*cN3-1/15*cM3-5/24*cL2)*z3*z4)*ln(w)*ln(u)^3*ln(v)^5+((20783/576*cM3 -3355/96*cN1-17731/576*cL1+11237/96*cL2+20783/576*cM1-3355/96*cN3+2075/144*cN2-\ 1601/96*cM2-17731/576*cL3)*z8*z5+(-49/96*cM3+7/48*cN1+511/24*cL1-427/12*cL2-49/ 96*cM1+7/48*cN3-175/24*cN2+385/48*cM2+511/24*cL3)*z6*z7+(65/3*cM3-62/3*cN1-34* cL1+236/3*cL2+65/3*cM1-62/3*cN3+92/3*cN2-98/3*cM2-34*cL3)*z3*z5^2+(-22363/480* cM3+21593/480*cN1+26059/480*cL1-36289/240*cL2-22363/480*cM1+21593/480*cN3-11363 /240*cN2+12133/240*cM2+26059/480*cL3)*z10*z3+(115/6*cM3-55/3*cN1-38/3*cL1+136/3 *cL2+115/6*cM1-55/3*cN3+50/3*cN2-55/3*cM2-38/3*cL3)*z3^2*z7+(-13/3*cM3+13/3*cN1 +11/4*cL1-65/6*cL2-13/3*cM1+13/3*cN3-10/3*cN2+10/3*cM2+11/4*cL3)*z4*z3^3+(-49/6 *cM3+23/3*cN1+13/3*cL1-50/3*cL2-49/6*cM1+23/3*cN3-22/3*cN2+25/3*cM2+13/3*cL3)* z2*z3^2*z5)*ln(u)^3+((2/3*cM2-2/3*cN2-23/12*cL3-3*cL2-2*cM1+43/12*cL1+2*cN1)*z2 *z3^3+(6629/96*cL1-1757/48*cN3-10619/96*cL3+49/8*cN2+119/48*cN1-385/48*cM2+3815 /96*cM3+1113/16*cL2-119/32*cM1)*z5*z6+(-215/3*cL2+155/3*cN3-125/6*cN2+275/12* cM1-215/3*cL1-125/6*cN1+400/3*cL3+275/12*cM2-335/6*cM3)*z4*z7+(16903/1152*cL1-\ 3229/72*cN3-70225/1152*cL3+925/36*cN2+665/48*cN1-925/36*cM2+3229/72*cM3+29713/ 576*cL2-665/48*cM1)*z3*z8+(5*cM2+19/12*cM3-3/2*cN3-14/3*cN2-77/12*cL3-11*cL2-95 /12*cM1+193/12*cL1+15/2*cN1)*z3^2*z5)*ln(w)^2*ln(u)^3+((5/18*cN1-5/18*cM1-1/3* cL3-37/72*cL2-1/9*cN2+49/72*cL1+1/9*cM2)*z3^3+(-67/72*cM3-43/36*cL1-43/36*cL2+ 20/9*cL3+55/144*cM1+55/144*cM2-25/72*cN1+31/36*cN3-25/72*cN2)*z2*z7+(-65/144* cN1+127/288*cM1+247/288*cM3-775/288*cL3+473/144*cL2+13/24*cN2-113/144*cN3+29/ 288*cL1-29/48*cM2)*z4*z5+(-4/9*cM1+91/192*cL2-587/288*cL3+485/576*cL1-193/144* cM2+47/36*cN2+17/16*cM3-17/16*cN3+23/48*cN1)*z6*z3)*ln(w)^4*ln(u)^3+((-cL3-3/2* cL2-3/2*cL1)*z2*z3*z5+(-4*cL3-25/36*cM2-11/18*cM3-29/9*cL2+7/9*cN3+5/6*cN2-25/ 36*cM1-29/9*cL1+5/6*cN1)*z3*z7+(512/9*cz-cM3-47/12*cL1-47/12*cL2-11/6*cL3-25/12 *cM1-25/12*cM2+cN1+1/6*cN3+cN2)*z4*z3^2+(-1232/45*cz+1573/5760*cM3+106271/5760* cL1+106271/5760*cL2+44671/2880*cL3+385/192*cM1+385/192*cM2-77/144*cN1+539/288* cN3-77/144*cN2)*z10+(-1/3*cL3-2/9*cM3-17/18*cL2+2/9*cN3-17/18*cL1)*z5^2)*ln(w)^ 3*ln(u)^3+((137/2160*cN1-539/4320*cL3+967/17280*cL2-137/2160*cM1+1339/5760*cL1+ 61/2160*cM2+61/2160*cM3)*z8+(1/15*cN1-11/60*cL3-19/120*cL2-1/15*cM1-1/40*cL1+1/ 180*cM2+1/180*cM3)*z3*z5+(-1/40*cL1-1/360*cM2-1/40*cL2-1/360*cM3)*z2*z3^2)*ln(w )^5*ln(u)^3+((5/432*cL2-1/1080*cL3+1/270*cM1-1/270*cN1-1/144*cL1)*z2*z5+(79/ 2880*cL3-1/192*cL1-7/360*cL2-1/360*cN1+1/360*cM1)*z3*z4)*ln(w)^6*ln(u)^3+((1/ 17280*cM2+1/17280*cM3)*z6+(-1/7560*cM3-1/7560*cM2)*z3^2)*ln(w)^7*ln(u)^3+((-26* cN1+12*cN2-17*cN3+103/3*cM1-87/2*cL1-87/2*cL3-37/6*cM2+139/6*cM3-1024/3*cz+100* cL2)*z4*z3*z5+(5*cN2+7/3*cN3+2/3*cM1-61/6*cL1-9/2*cL3-29/6*cM2-11/6*cM3+22/3* cL2)*z2*z3*z7+(14/3*cN1-28/3*cN2+10/3*cN3-16/3*cM1+20*cL1+58/3*cL3+29/3*cM2-11/ 3*cM3-26*cL2)*z2*z5^2+(-14/3*cN1-98/9*cN3+35/9*cM1+259/9*cL1+35/3*cL3-10/9*cM2+ 95/9*cM3+280/9*cL2)*z3*z9+(-5*cN2-17/3*cN3-2/3*cM1+155/6*cL1+31/2*cL3+29/6*cM2+ 31/6*cM3+52/3*cL2)*z5*z7+(413/24*cN1+17/12*cN2+331/24*cN3-70/3*cM1+115/48*cL1+ 103/8*cL3-117/16*cM2-301/16*cM3+896/3*cz-1471/16*cL2)*z6*z3^2+(4*cN1+2*cN2+8/9* cN3-35/9*cM1+56/9*cL1-34/3*cL3-17/9*cM2-8/9*cM3-34/9*cL2)*z3^4+(-4838925/44224* cN1-10668229/66336*cN2-2408237/22112*cN3+19943677/132672*cM1+723938345/1061376* cL1+5842447/8292*cL3+25489711/132672*cM2+6688409/44224*cM3-3907904/2073*cz+ 233017265/353792*cL2)*z12)*ln(w)*ln(u)^3+((523/2*cL1+131/2*cN1+523/2*cL2-466* cL3-277/4*cM1-277/4*cM2+265/2*cM3+131/2*cN2-125*cN3)*z4*z5^2+(62063/192*cL1+ 18601/96*cN1+62063/192*cL2-113995/96*cL3-37709/192*cM1-37709/192*cM2+4229/32* cM3+18601/96*cN2-1015/8*cN3)*z8*z3^2+(-42*cL1+33*cN1-42*cL2-96*cL3-69/2*cM1-69/ 2*cM2+33*cM3+33*cN2-30*cN3)*z2*z5*z7+(-6739/16*cL1-1001/4*cN1-6739/16*cL2+10399 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